Application complète : arêtes opposées d’un tétraèdre régulier

L’idée décisive est d’écrire $\vec{CD}=\vec{AD}-\vec{AC}$, puis d’utiliser la linéarité.

Enonce. Soit $ABCD$ un tetraedre regulier : chaque face est un triangle equilateral de cote $a$. Montrer que deux aretes opposees sont orthogonales — par exemple $[AB]$ et $[CD]$.

Correction. On montre que $\vec{AB}\cdot\vec{CD}=0$.

On a : $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\times AC\cos\!\big(\widehat{AB,AC}\big)=a\times a\cos\frac{\pi}{3}=\frac{a^{2}}{2}\qquad(1)$ $\vec{AB}\cdot\vec{AD}=AB\times AD\cos\!\big(\widehat{AB,AD}\big)=a\times a\cos\frac{\pi}{3}=\frac{a^{2}}{2}\qquad(2)$

D'ou, avec $\vec{CD}=\vec{AD}-\vec{AC}$ : $\vec{AB}\cdot\vec{CD}=\vec{AB}\cdot(\vec{AD}-\vec{AC})=\vec{AB}\cdot\vec{AD}-\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\frac{a^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2}=0$

Donc $\vec{AB}\cdot\vec{CD}=0$.

Conclusion. $(AB)\perp(CD)$. De la meme facon, on demontre que $\vec{BC}\cdot\vec{AD}=0$ et $\vec{AC}\cdot\vec{BD}=0$.