Application : critère avec |vₙ - ℓ| et cos(n)

Application

On considère la suite numérique $(v_n)$ définie par $\displaystyle v_n = \frac{\cos n}{n}$, $n \geq 1$.

Montrer que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = 0$.

On a : $|v_n - 0| = \left|\frac{\cos n}{n}\right| = \frac{|\cos n|}{n} \leq \frac{1}{n} \qquad (\text{car } |\cos n| \leq 1)$

D'où : $\displaystyle |v_n - 0| \leq \frac{1}{n}$, et puisque $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, alors, d'après le quatrième critère de convergence : $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$