Application : critère de comparaison avec cos(n)

Application

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_n = 2n + \cos(n)$, $n \geq 0$.

Calculer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$.

On a : $-1 \leq \cos(n) \leq 1 \iff 2n - 1 \leq 2n + \cos(n) \leq 2n + 1$

Donc : $2n - 1 \leq 2n + \cos(n)$

D'où : $2n - 1 \leq u_n$

On sait que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (2n - 1) = +\infty$.

D'après le deuxième critère de convergence (comparaison), on obtient : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

Conclusion : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \big(2n + \cos(n)\big) = +\infty$.