Application : théorème des gendarmes avec (-1)ⁿ

Application

On considère la suite numérique $(v_n)$ définie par $\displaystyle v_n = \frac{(-1)^n}{n} - 5$, $n > 0$.

Montrer que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = -5$.

On a : $-1 \leq (-1)^n \leq 1 \implies \frac{-1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$

$\implies \frac{-1}{n} - 5 \leq \frac{(-1)^n}{n} - 5 \leq \frac{1}{n} - 5$

$\implies \frac{-1}{n} - 5 \leq v_n \leq \frac{1}{n} - 5$

On sait que : $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{-1}{n} - 5\right) = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n} - 5\right) = -5$

D'après le premier critère de convergence (gendarmes), on obtient : $\lim_{n \to +\infty} v_n = -5$

Conclusion : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = -5$.