Définition : l’angle porté par un complexe

Vocabulaire

• $\dfrac{\pi}{4}$ est une mesure de l'angle orienté $(\vec u,\overrightarrow{OM})$ ; on l'appelle aussi argument du nombre complexe $z=2+2i$.
• Toute mesure parmi $\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$) de l'angle $(\vec u,\overrightarrow{OM})$ est aussi appelée argument de $z=2+2i$.
• L'argument de $z=2+2i$ est noté $\arg(z) \equiv (\vec u,\overrightarrow{OM})\ [2\pi]$ ou $\arg(2+2i) \equiv \dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]$.
• En général, si $z\in\mathbb{C}^*$ et $(\vec u,\overrightarrow{OM})\equiv\alpha\ [2\pi]$, on écrit $\arg(z)\equiv\alpha\ [2\pi]$, ou encore $\arg(z)=\alpha+2k\pi\ ;\ k\in\mathbb{Z}$.
• On préfère prendre $\alpha \in\ ]-\pi,\pi]$ (la mesure principale de l'angle orienté $(\vec u,\overrightarrow{OM})$ avec $M\neq O$).
• Le nombre complexe nul $z=0$ n'a pas d'argument ($\overrightarrow{OM}=\vec0$, donc l'angle $(\vec u,\overrightarrow{OM})$ n'est pas déterminé).

Définition

$M(z)$ (avec $M\neq O$, donc $z\neq0$) est un point du plan complexe $(P)$ muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$.

Toute mesure $\alpha$ de l'angle orienté $(\vec u,\overrightarrow{OM})$ s'appelle argument du nombre complexe non nul $z$.

On note : $\arg(z)\equiv\alpha\ [2\pi]$, d'où $\arg(z)\equiv(\vec u,\overrightarrow{OM})\ [2\pi]$ ou $\arg(z)=\alpha+2k\pi\ ;\ k\in\mathbb{Z}$.

Un argument n’est pas unique : si $\theta$ convient, alors $\theta+2k\pi$ convient aussi. On écrit

$$\arg(z)=\theta\pmod{2\pi}.$$

La valeur principale est choisie dans $]-\pi,\pi]$.