Cas Δ < 0 : lire p et q dans les racines

Si $\Delta<0$, les racines complexes s’écrivent

$$r_1=p+qi,\qquad r_2=p-qi,$$

avec $q>0$. Les solutions réelles sont

$$\boxed{f(x)=e^{px}\big(\alpha\cos(qx)+\beta\sin(qx)\big)}.$$

• $p$ est la partie réelle : elle apparaît dans $e^{px}$ ;
• $q$ est la partie imaginaire sans $i$ : elle apparaît dans $\cos(qx)$ et $\sin(qx)$.

Si $p=0$, il n’y a aucun facteur exponentiel visible puisque $e^0=1$.