Théorème : solution générale selon le signe de Δ

Voici le résultat complet à connaître. Lis-le avec la carte de décision précédente : le signe de $\Delta$ détermine la forme, puis les racines donnent les exposants ou les paramètres $p,q$.

Propriété

La solution générale de $(E) : y'' + ay' + by = 0$ dépend du signe de $\Delta$.

1ᵉʳ cas : $\Delta > 0$. L'équation caractéristique a deux solutions réelles $r_1$ et $r_2$. La solution générale est :

$y(x) = \alpha\,e^{r_1 x} + \beta\,e^{r_2 x} \qquad (\alpha, \beta \in \mathbb{R})$

2ᵉ cas : $\Delta = 0$. L'équation caractéristique a une solution réelle double $r_1$. La solution générale est :

$f(x) = (\alpha x + \beta)\,e^{r_1 x} \qquad (\alpha, \beta \in \mathbb{R})$

3ᵉ cas : $\Delta < 0$. L'équation caractéristique a deux solutions complexes conjuguées $r_1 = p + qi$ et $r_2 = \overline{r_1} = p - qi$. La solution générale est :

$f(x) = \big(\alpha\cos(qx) + \beta\sin(qx)\big)\,e^{px} \qquad (\alpha, \beta \in \mathbb{R})$