Exemple détaillé : y′ = 4y + 5 et f(−7) = 11

Nous appliquons exactement la méthode précédente. Le grand nombre $e^{28}$ vient naturellement de l’abscisse $-7$ ; il ne faut pas l’approximer.

Exemple

Déterminer la solution $f$ de l'équation $(E) : y' = 4y + 5$ qui vérifie la condition initiale $f(-7) = 11$.

Solution générale (exemple précédent) :

$f(x) = \alpha\,e^{4x} - \frac{5}{4} \qquad (\alpha \in \mathbb{R})$

On applique la condition initiale $f(-7) = 11$ :

\iff \alpha\,e^{4\times(-7)} - \frac{5}{4} = 11 \iff \alpha\,e^{-28} = 11 + \frac{5}{4} = \frac{49}{4}$$ $$\iff \alpha = \frac{49}{4}\,e^{28}$$ Comme $\alpha = \dfrac{49}{4}\,e^{28}$ est un nombre réel **unique**, il existe une unique fonction telle que $f(-7) = 11$ : $$f(x) = \frac{49}{4}\,e^{28}\times e^{4x} - \frac{5}{4} = \frac{49}{4}\,e^{4x+28} - \frac{5}{4}$$ **Vérification :** $f(-7) = \dfrac{49}{4}\,e^{0} - \dfrac{5}{4} = \dfrac{49}{4} - \dfrac{5}{4} = \dfrac{44}{4} = 11.$ ✓