Commencer par y′ = ay : la famille exponentielle

On sait que

$$\big(e^{ax}\big)'=ae^{ax}.$$

Donc, pour toute constante réelle $\alpha$,

$$f(x)=\alpha e^{ax} \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=a\alpha e^{ax}=af(x).$$

Les fonctions $x\mapsto\alpha e^{ax}$ sont exactement les solutions de $y'=ay$. La constante $\alpha$ permet d’obtenir toute la famille.