Corollaires du TVI et méthode de dichotomie

Corollaire 1

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a\,;b]$, alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une solution unique dans $]a\,;b[$.

Interprétation : la droite $(D)\colon y = k$ coupe la courbe de $f$ en un seul point dont l'abscisse est comprise entre $a$ et $b$.

Corollaire 2

Si $f$ est une fonction continue, strictement monotone sur un intervalle $[a\,;b]$ et $f(a)\cdot f(b) < 0$, alors l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique dans l'intervalle $]a\,;b[$.

Interprétation : la courbe de $f$ coupe l'axe des abscisses en un seul point dont l'abscisse est comprise entre $a$ et $b$.

Méthode d'encadrement d'une solution par dichotomie

Pour encadrer la solution unique $c$ de $f(x)=0$ sur $[a\,;b]$ (avec $f(a)\cdot f(b) < 0$) : on calcule $f\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$, on détermine son signe, puis on remplace $a$ ou $b$ par le milieu selon le cas pour réduire l'intervalle contenant $c$, et on répète le procédé.

Rédaction Bac pour une racine unique

1. $f$ est continue sur $[a,b]$.
2. $f(a)f(b)<0$, donc le TVI donne au moins une racine.
3. $f$ est strictement monotone, donc cette racine est unique.

Ne mélange pas existence et unicité : elles viennent de deux arguments différents.