Exemple guidé : rotation de y=x−5 sur [−1,2]

Même si $x-5$ est négatif sur $[-1,2]$, le rayon géométrique est $|x-5|$ et son carré vaut $(x-5)^2$. La formule reste donc directement applicable.

Exemple 1

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$ tel que $\|\vec i\| = \|\vec j\| = \|\vec k\| = 1\,\text{cm}$.

On considère la fonction $f(x) = x - 5$ sur $[-1,2]$.

Calcul du volume $V$ du solide de révolution obtenu :

= \pi\int_{-1}^{2} (x-5)'\,(x-5)^2\,dx = \pi\left[\tfrac{1}{3}(x-5)^3\right]_{-1}^{2}\ \text{cm}^3$$ $$= \frac{\pi}{3}\Big((-3)^3 - (-6)^3\Big) = \frac{\pi}{3}\big(-27 + 216\big) = \frac{\pi}{3}\times 189 = 63\pi\ \text{cm}^3$$ **Conclusion :** $V = 63\pi\ \text{cm}^3$.