Applications : calcul de limites par opérations

Application 1

Calculer la limite de la suite suivante : $\displaystyle u_n = \frac{1}{n} + 3$, $n \geq 1$.

Résolution : on a $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 3 = 3$, d'où par somme des limites : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0 + 3 = 3$

Application 2

Calculer la limite de la suite suivante : $\displaystyle v_n = \left(\frac{1}{n} + 3\right)\sqrt{n}$, $n \geq 1$.

Résolution : on a $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n} + 3\right) = 3$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$, d'où : $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n} + 3\right)\sqrt{n} = +\infty$

(Produit d'une limite finie non nulle positive par une limite infinie.)