Suite de la forme uₙ = nʳ avec r ∈ ℚ*

Les puissances $n^r$ prolongent les quatre limites usuelles en une seule règle.

Propriété

• Si $r > 0$ alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^r = +\infty$.
• Si $r < 0$ alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^r = 0$.

Exemple

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \sqrt[7]{n^3}$, $n \geq 1$.

Calculons $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$ :

1ère méthode : on a $\displaystyle u_n = \sqrt[7]{n^3} = n^{\frac{3}{7}}$, donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} n^{\frac{3}{7}} = +\infty$, car $r = \dfrac{3}{7} > 0$.

2ième méthode : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^3 = +\infty$ donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt[7]{n^3} = +\infty$.

Conclusion : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.