Comparer et calculer des limites avec des puissances

Comparaison

Comparer :

$$a=\sqrt[3]{5}, \qquad b=\sqrt[4]{20}.$$

Comme $a,b>0$, élève les deux nombres à la puissance $12$ pour comparer $a^{12}=5^4$ et $b^{12}=20^3$.

Limites du support

Étudier notamment :

$$\lim_{x\to+\infty} \left( \sqrt[5]{2x^2+3x} - \sqrt[4]{3x^3+x^2} \right),$$ $$\lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt[4]{x-1}-1}{\sqrt[3]{x+1}+x},$$ $$\lim_{x\to+\infty} \left( \sqrt[p]{x^q+1} - \sqrt[q]{x^p+1} \right).$$

Méthode. Réécrire chaque racine comme une puissance de $x$, comparer les exposants dominants, puis factoriser la plus grande puissance.

Le support imprime aussi $\sqrt[3]{8x^2+3x}-2\sqrt[3]{x^2-x^2}$ : le second radicand vaut identiquement $0$. Cette version est conservée comme remarque de source ; pour un entraînement non dégénéré, remplacer le second radicand par $x^2-x$.