Image d'un segment par une fonction continue

Soit $f$ continue sur le segment $[a,b]$.

Elle atteint un minimum $m$ et un maximum $M$ sur ce segment, et :

$$\boxed{f([a,b])=[m,M]}$$

avec :

$$m=\min_{x\in[a,b]}f(x), \qquad M=\max_{x\in[a,b]}f(x).$$

Pourquoi la continuité compte. Une courbe continue ne saute aucune valeur entre son minimum et son maximum.

Ce résultat est admis dans le support. Il prépare directement le théorème des valeurs intermédiaires.