Caractériser exactement f(I)=J

Prouver $f(I)=J$ demande deux inclusions :

$$f(I)=J \iff \begin{cases} f(I)\subset J,\\ J\subset f(I). \end{cases}$$

Ce qui signifie :

$$\begin{cases} (\forall x\in I)\big(f(x)\in J\big),\\ (\forall y\in J)(\exists x\in I)\big(f(x)=y\big). \end{cases}$$

• La première ligne affirme qu'aucune sortie ne quitte $J$.
• La seconde affirme que chaque valeur de $J$ est réellement atteinte.

À retenir pour le Bac. Dans la plupart des exercices, le tableau de variation et la continuité permettent d'obtenir cette égalité plus rapidement.