Méthode : utiliser l'expression conjuguée

Calculons :

$$\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^2-3x+2}.$$

La substitution donne $\frac00$. Multiplions le numérateur par son conjugué :

$$\sqrt{4x+1}-3 =\frac{4x+1-9}{\sqrt{4x+1}+3} =\frac{4(x-2)}{\sqrt{4x+1}+3}.$$

Et :

$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2).$$

Pour $x\neq2$, on simplifie $x-2$ :

$$\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^2-3x+2} =\frac4{(\sqrt{4x+1}+3)(x-1)}.$$

Donc :

$$\boxed{\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^2-3x+2}=\frac23.}$$