Conséquences utiles des formules d’Euler

Corollaire

Avec $z = \cos\alpha+i\sin\alpha = e^{i\alpha}$, d'après la formule de Moivre :

$z^n = [1,\alpha]^n = (e^{i\alpha})^n = e^{in\alpha} = \cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha)$

$(\bar z)^n = [1,-\alpha]^n = (e^{-i\alpha})^n = e^{-in\alpha} = \cos(n\alpha)-i\sin(n\alpha)$

D'où :

$e^{in\alpha}+e^{-in\alpha} = z^n+(\bar z)^n = 2\cos(n\alpha)$

$e^{in\alpha}-e^{-in\alpha} = z^n-(\bar z)^n = 2i\sin(n\alpha)$

$e^{in\alpha}\times e^{-in\alpha} = z^n\times(\bar z)^n = 1$

Ces relations généralisent les formules d'Euler à l'angle $n\alpha$ et sont la base des techniques de linéarisation de $\cos^n x$ et $\sin^n x$.