Étude guidée : e²ˣ−2eˣ

Soit

$$g(x)=e^{2x}-2e^x.$$

Factorisons :

$$g(x)=e^x(e^x-2).$$

Comme $e^x>0$, le signe de $g$ est celui de $e^x-2$. Ainsi

$$g(x)=0 \Longleftrightarrow e^x=2 \Longleftrightarrow x=\ln2.$$

La dérivée vaut

$$g'(x)=2e^{2x}-2e^x =2e^x(e^x-1).$$

Donc $g'$ est négative pour $x<0$, nulle en $0$ et positive pour $x>0$. La fonction décroît puis croît, avec

$$g(0)=1-2=-1.$$