Convergence d'une suite numérique

Définition

$(u_n)_{n \geq n_0}$ est une suite numérique.

• Si la limite de la suite $(u_n)$ est finie, on dit que la suite $(u_n)$ est convergente.
• Si la limite de la suite $(u_n)$ est infinie, ou si la suite $(u_n)$ n'a pas de limite, on dit que la suite $(u_n)$ est divergente.

Exemples

• $u_n = n^4$ : on a $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$, d'où la suite $(u_n)$ est divergente.

• $u_n = (-1)^n$ : cette suite n'a pas de limite, car si $n$ est pair on a $u_n = 1$ et si $n$ est impair on a $u_n = -1$ (contradiction avec la propriété d'unicité de la limite).

• $\displaystyle u_n = \frac{1}{n} + 3$, $n \geq 1$ : on a $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 3$ d'où la suite $(u_n)$ est convergente.