Limite infinie d'une suite

Une limite infinie signifie que les termes finissent par dépasser toute barrière choisie.

Définition

$(u_n)_{n \geq n_0}$ est une suite numérique.

• On dit que la limite de la suite $(u_n)$ est $+\infty$ si, pour tout $A$ de $\mathbb{R}^{+}$, l'intervalle $]A\,;+\infty[$ contient tous les termes de la suite $(u_n)$ à partir d'un certain rang. On note : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

• On dit que la limite de la suite $(u_n)$ est $-\infty$ si, pour tout $A$ de $\mathbb{R}^{+}$, l'intervalle $]-\infty\,;-A[$ contient tous les termes de la suite $(u_n)$ à partir d'un certain rang. On note : $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$

Propriété

• Si une suite a une limite, alors cette limite est unique.
• $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n = +\infty$, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^i = +\infty$ (pour $i \in \mathbb{N}^{*}$), et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$.