Définition de la limite finie d'une suite

L'idée de bande autour de $\ell$ devient maintenant une définition exacte.

Définition

$(u_n)_{n \geq n_0}$ est une suite numérique.

On dit que la limite de la suite $(u_n)$ est le nombre réel $\ell$ si pour tout intervalle ouvert $I_\ell$ de centre $\ell$, cet intervalle contient tous les termes de la suite $(u_n)$ à partir d'un certain rang. On note : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$

Propriété

• Si une suite a une limite, alors cette limite est unique.
• $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^i} = 0$ (pour $i \in \mathbb{N}^{*}$), et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$.
• $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n - \ell) = 0 \iff \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$.

Exemple

On considère la suite $(u_n)_{n \geq 1}$ définie par $\displaystyle u_n = \frac{1}{n} + 3$. Montrons que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 3$.

On a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n - 3) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} + 3 - 3 = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$

D'où $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 3$.