Méthode 2 : étudier uₙ₊₁/uₙ

Cette méthode exige $u_n>0$.

Pour $\displaystyle u_n=\frac{3^n}{n!}$, $n\geq1$ :

$$\frac{u_{n+1}}{u_n} =\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\frac{n!}{3^n} =\frac3{n+1}.$$

Pour $n\geq2$, $\dfrac3{n+1}\leq1$, donc $u_{n+1}\leq u_n$. La suite est décroissante à partir du rang $2$.

Une suite peut changer de comportement au début. « À partir d'un certain rang » est souvent suffisant pour étudier sa limite.