Exemple : x³+x-1=0 sur [0,1]

Posons $f(x)=x^3+x-1$.

1. $f$ est polynomiale, donc continue sur $[0,1]$.
2. $f(0)=-1$ et $f(1)=1$, donc $f(0)f(1)<0$.
3. Par le TVI, il existe au moins une racine $\alpha\in[0,1]$.
4. $f'(x)=3x^2+1>0$ sur $\mathbb R$, donc $f$ est strictement croissante.

Ainsi :

$$\boxed{x^3+x-1=0\text{ admet une unique racine dans }[0,1].}$$

Comme $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$ et que ses limites en $-\infty$ et $+\infty$ sont respectivement $-\infty$ et $+\infty$, cette racine est aussi l'unique racine réelle.