Méthode à moins l’infini : poser t=-x

Pour étudier un produit comme

$$x^ne^x \qquad(x\to-\infty),$$

pose

$$t=-x.$$

Alors $t\to+\infty$ et

$$x^ne^x=(-t)^ne^{-t} =(-1)^n\frac{t^n}{e^t}.$$

Or

$$\frac{e^t}{t^n}\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad \frac{t^n}{e^t}\to0.$$

Donc $x^ne^x\to0$. Le signe éventuel dépend de la parité de $n$, mais la limite vaut bien $0$.