Théorème : réciprocité, positivité et monotonie

Propriétés fondamentales

Pour $x\in\mathbb R$ et $y>0$ :

$$y=e^x \quad\Longleftrightarrow\quad x=\ln y.$$

Les fonctions $\ln$ et $\exp$ sont réciproques :

$$\forall x>0,\qquad e^{\ln x}=x,$$ $$\forall x\in\mathbb R,\qquad \ln(e^x)=x.$$

Enfin :

$$\forall x\in\mathbb R,\qquad e^x>0.$$

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante :

$$a=b\Longleftrightarrow e^a=e^b,$$ $$a<b\Longleftrightarrow e^a<e^b.$$

Comparer deux exponentielles de même base revient donc à comparer leurs exposants.