Pourquoi ln possède-t-elle une fonction réciproque ?

Activité

On considère la fonction $f$ définie par :

$$f : \; ]0, +\infty[ \; \to \mathbb{R}, \qquad x \mapsto f(x) = \ln x$$

Question. Est-ce que la fonction $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ ?

💡 Piste de réflexion Rappelle-toi qu'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle admet toujours une fonction réciproque sur cet intervalle. Que sais-tu de la continuité et de la monotonie de $\ln$ sur $]0, +\infty[$ ?

Cette question est le point de départ de toute la construction de la fonction exponentielle népérienne : elle sera définie comme la réciproque de $\ln$.

Réponse guidée. Sur $]0,+\infty[$, la fonction $\ln$ est continue, strictement croissante et son image est $\mathbb R$. Elle réalise donc une bijection

$$]0,+\infty[\longrightarrow\mathbb R.$$

Chaque réel possède ainsi un unique antécédent positif par $\ln$.