Théorème : propriétés de la fonction exponentielle

Définition et propriété

La fonction $f$ définie par :

$$f : \; ]0, +\infty[ \; \to \mathbb{R}, \qquad x \mapsto f(x) = \ln x$$

est continue et strictement croissante sur l'intervalle $]0, +\infty[$.

D'où $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$, appelée fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$ ou $e$, avec :

$$f^{-1} = \exp : \; \mathbb{R} \to \; ]0, +\infty[, \qquad x \mapsto f^{-1}(x) = \exp(x)$$

✅ Théorème utilisé Toute fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$, et admet donc une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $f(I)$.

Lis bien l’échange des ensembles :

$$\ln: ]0,+\infty[\to\mathbb R \qquad\text{et}\qquad \exp:\mathbb R\to]0,+\infty[.$$

L’entrée de $\exp$ peut être n’importe quel réel ; sa sortie est toujours strictement positive.