Preuve détaillée de la formule

La preuve relie deux expressions du même produit scalaire $\vec{AH}\cdot\vec n$. Le signe disparaît seulement après la valeur absolue.

On considere $H(x_H,y_H,z_H)$ le projete orthogonal de $A$ sur le plan $(P)$.

• Le vecteur $\vec{n}(a,b,c)$ est normal au plan $(P)$, donc $\vec{n}\perp(P)$ $(1)$.
• $H$ est le projete orthogonal de $A$ sur $(P)$, donc $\vec{AH}\perp(P)$ $(2)$.
• $H\in(P)\iff ax_H+by_H+cz_H+d=0$, donc $ax_H+by_H+cz_H=-d$.

D'apres $(1)$ et $(2)$, les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{AH}$ sont colineaires, d'ou $\big|\cos(\widehat{\vec{AH},\vec{n}})\big|=1$ et $\big|\vec{AH}\cdot\vec{n}\big|=AH\,\|\vec{n}\|\,\big|\cos(\widehat{\vec{AH},\vec{n}})\big|=AH\,\|\vec{n}\|\qquad(4)$

D'autre part, le produit scalaire vaut :

=a(x_H-x_A)+b(y_H-y_A)+c(z_H-z_A)$$ $$=\underbrace{(ax_H+by_H+cz_H)}_{=-d}-(ax_A+by_A+cz_A)=-\big(ax_A+by_A+cz_A+d\big)$$ Donc : $$\big|\vec{AH}\cdot\vec{n}\big|=\big|ax_A+by_A+cz_A+d\big|\qquad(3)$$ D'apres $(3)$ et $(4)$ : $\ AH\,\|\vec{n}\|=\big|ax_A+by_A+cz_A+d\big|$, d'ou $$AH=\frac{\big|ax_A+by_A+cz_A+d\big|}{\|\vec{n}\|}=\frac{\big|ax_A+by_A+cz_A+d\big|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$$ > **Note.** Une etape de signe de la version d'origine a ete corrigee ici : $\vec{AH}\cdot\vec{n}=-(ax_A+by_A+cz_A+d)$. Le resultat final (en valeur absolue) est inchange.