Démonstration de la formule analytique

Pour $\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k$ et $\vec v=x'\vec i+y'\vec j+z'\vec k$, la bilinéarité donne neuf termes. Dans un repère orthonormé,

$$\vec i\cdot\vec j=\vec i\cdot\vec k=\vec j\cdot\vec k=0$$

et $\vec i^{,2}=\vec j^{,2}=\vec k^{,2}=1$. Ainsi,

$$\boxed{\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'}.$$