Problème de synthèse guidé

Soit

$$f(x)=\frac{x^2-2x+2}{x-1}.$$

1. Déterminer $\mathcal D_f$.
2. Écrire $f(x)$ sous la forme $ax+b+\dfrac{c}{x-1}$.
3. Calculer les limites aux bornes du domaine et déterminer les asymptotes.
4. Calculer $f'(x)$ puis étudier son signe.
5. Dresser le tableau de variations.
6. Étudier la position de $(C_f)$ par rapport à l'asymptote oblique.
7. Tracer une courbe cohérente.

Auto-contrôle. Chaque résultat doit apparaître dans le dessin final : domaine coupé, directions aux bords, asymptotes, extremums et position.