Exercice 3 : limites et asymptote oblique

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ par : $f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2 - 6x + 9}$

1. Étudier le signe de $x^2 - 6x + 9$.
2. Calculer les limites de $f$ aux bornes du domaine de définition.
3. Calculer : $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) - x$

La question 3 prépare l'étude d'une éventuelle branche parabolique ou asymptote oblique (voir la partie Les branches infinies).

Lien avec la suite. Effectue une division euclidienne pour isoler le terme affine et décider si une asymptote oblique existe réellement.