Exercice 4 : encadrement et limite en +∞

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$

1. Montrer que, $(\forall x > 0)$ : $\left| f(x) - \frac{1}{2} \right| \leq \frac{1}{x^2}$

2. En déduire $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Utiliser le lemme d'encadrement vu précédemment : si $|f(x) - k| \leq g(x)$ et $\lim g(x) = 0$ alors $\lim f(x) = k$.

Rédaction attendue. Citer le lemme seulement après avoir vérifié les deux conditions : l'inégalité d'encadrement et la limite nulle du majorant.