Concavité et dérivée seconde

Définition

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$, et $(C_f)$ sa courbe représentative.

• $(C_f)$ admet une concavité dirigée vers les ordonnées positives (convexe) si elle est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.
• $(C_f)$ admet une concavité dirigée vers les ordonnées négatives (concave) si elle est entièrement située au-dessous de chacune de ses tangentes.

Propriété

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $(\forall x \in I);\ f''(x) \geq 0$, alors $(C_f)$ admet une concavité dirigée vers les ordonnées positives.
• Si $(\forall x \in I);\ f''(x) \leq 0$, alors $(C_f)$ admet une concavité dirigée vers les ordonnées négatives.
• Si $f''(a) = 0$ et $f''$ change de signe, alors $A(a\,;f(a))$ est un point d'inflexion.