Étude d'une branche infinie : méthode complète

Méthode (arbre de décision)

On suppose $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = \infty$. On étudie alors $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ :

Cas 1 : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$

→ $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de $+\infty$.

Cas 2 : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$

→ $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$.

Cas 3 : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a \neq 0$

On étudie ensuite $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \big(f(x) - ax\big)$ :

• Si cette limite vaut $\infty$ → $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y = ax$ au voisinage de $+\infty$.
• Si cette limite vaut un réel $b$ → $(C_f)$ admet une asymptote oblique d'équation $y = ax + b$ au voisinage de $+\infty$.

La même démarche s'applique au voisinage de $-\infty$.