$f'(a)=0$ ne suffit pas

Pour $f(x)=x^3$ :

$$f'(x)=3x^2 \quad\text{et}\quad f'(0)=0.$$

Pourtant $f'$ reste positive de part et d'autre de $0$. La fonction continue de croître : il n'y a ni maximum ni minimum.

Critère fiable. Un extremum local apparaît lorsque $f'$ s'annule et change de signe.

Le point $(0,0)$ est ici un point d'inflexion à tangente horizontale.