Quotient : le dénominateur est au carré

$$\left(\frac uv\right)' =\frac{u'v-uv'}{v^2}.$$

Pour $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$ :

$$f'(x) =\frac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2} =\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.$$

Le dénominateur est positif sur le domaine. Le signe de $f'$ dépend donc uniquement du numérateur $x^2-2x-1$. Cette observation prépare directement le tableau de variations.