Exercice guidé : former un comité sous contrainte

Pour la deuxième question, la contrainte impose deux choix successifs : choisir les filles et puis choisir les garçons. On multiplie les deux combinaisons.

Exercice d'application

Une classe compte $12$ filles et $8$ garçons. On veut former un comité de $5$ élèves.

1. Combien de comités différents peut-on former ?
2. Combien de comités comptent exactement $3$ filles et $2$ garçons ?

Solution

L'ordre n'intervient pas : on utilise des combinaisons.

1. Choisir $5$ élèves parmi $20$ : $C_{20}^{5} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5} = 15\,504$

2. Choisir $3$ filles parmi $12$ et $2$ garçons parmi $8$ (principe du produit) : $C_{12}^{3} \times C_{8}^{2} = 220 \times 28 = 6\,160$