Tirage simultané : l’ordre disparaît

Deux boules prises simultanément forment un groupe. Il n’existe pas de « première » et de « deuxième » boule : on utilise donc une combinaison.

Dans cet exemple, on note $\Omega$ l’univers, c’est-à-dire l’ensemble de tous les tirages possibles. On note $A$ l’ensemble des tirages qui vérifient la condition demandée ; $A$ est un événement et $A\subset\Omega$.

Exemple — Tirage simultané

Une urne contient $6$ boules rouges et $3$ boules vertes ($9$ boules). On tire simultanément $2$ boules de l'urne.

Questions

1. Quel est le nombre de tirages possibles ?
2. Quel est le nombre de tirages tels que les $2$ boules sont de couleurs différentes ?

Correction

1. Nombre de cas possibles — Calculons $\operatorname{card}(\Omega)$.

Le tirage simultané de $2$ boules parmi $9$ est une combinaison de $2$ parmi $9$ (l'ordre n'intervient pas) : $\operatorname{card}(\Omega) = C_{9}^{2} = \frac{9 \times 8}{1 \times 2} = 36$

Conclusion : il y a $36$ tirages possibles.

2. Les 2 boules de couleurs différentes — soit $A$ : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes », c'est-à-dire « une boule rouge et l'autre verte ».

• Une boule rouge parmi $6$ : $C_{6}^{1} = 6$ manières.
• Une boule verte parmi $3$ : $C_{3}^{1} = 3$ manières.

$\operatorname{card}(A) = C_{6}^{1} \times C_{3}^{1} = 6 \times 3 = 18$

Conclusion : il y a $18$ tirages réalisant $A$.