Construire la formule $A_n^p$ étape par étape

La première position a $n$ choix. Après ce choix, il reste $n-1$ éléments, puis $n-2$, jusqu’à la $p$-ième position.

La notation $A_n^p$ se lit « nombre d’arrangements de $p$ éléments parmi $n$ » :

• l’indice $n$ est le nombre d’éléments disponibles ;
• l’exposant $p$ est le nombre de positions à remplir.

Propriété

Le nombre des arrangements sans répétition de $p$ éléments parmi $n$ éléments est :

$A_{n}^{p} = \underbrace{n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-p+1)}_{p \text{ facteurs}} = \frac{n!}{(n-p)!}$

avec $0 \le p \le n$, $\ n \in \mathbb{N}$ et $p \in \mathbb{N}$.

Factorielle

Le nombre $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times n$ se lit « factorielle $n$ » (avec $n \in \mathbb{N}^{*}$), et par convention :

$0! = 1 \qquad ; \qquad 1! = 1$

Pourquoi le dernier facteur vaut $n-p+1$ ?

Avant la $p$-ième position, on a déjà utilisé $p-1$ éléments. Il en reste donc $n-(p-1)=n-p+1$.