Quatre règles de cardinal, une idée à la fois

Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis.

1. Réunir : le cardinal de $A\cup B$

Dans $\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)$, les éléments communs à $A$ et $B$ sont comptés deux fois. On retire donc une copie de l’intersection :

$\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)-\operatorname{card}(A\cap B).$

Si $A\cap B=\varnothing$, aucun élément n’est compté deux fois et la formule devient $\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)$.

2. Enchaîner deux choix : le produit cartésien

$A\times B$ contient tous les couples $(a,b)$ où $a\in A$ et $b\in B$. On choisit un élément de $A$, puis un élément de $B$ :

$\operatorname{card}(A\times B)=\operatorname{card}(A)\times\operatorname{card}(B).$

3. Compter « tout sauf $A$ » : le complémentaire

Si $A\subset E$, le complémentaire de $A$ dans l’ensemble de référence $E$ est

$\overline A=E\setminus A.$

Il contient les éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$, donc

$\operatorname{card}(\overline A)=\operatorname{card}(E)-\operatorname{card}(A).$

Le symbole $\overline A$ n’a de sens que si l’ensemble de référence $E$ est connu.