Ensemble fini et cardinal : ce que l’on compte

Trois notations à connaître ici

• $\mathbb{N}^{*}=\{1,2,3,\ldots\}$ est l’ensemble des entiers naturels non nuls.
• $n\in\mathbb{N}^{*}$ se lit « $n$ appartient à $\mathbb{N}^{*}$ ».
• $\varnothing$ désigne l’ensemble vide, qui ne contient aucun élément.

Définition

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ et $E$ un ensemble qui contient $n$ éléments. On dit que $E$ est un ensemble fini.

Le nombre $n$ s'appelle le cardinal de $E$, noté :

$\operatorname{card}(E) = n \qquad \text{avec} \qquad \operatorname{card}(\varnothing) = 0$

Lecture simple

$\operatorname{card}(E)$ répond à la question : combien d’éléments distincts contient $E$ ? Les accolades décrivent un ensemble : l’ordre d’écriture et les répétitions n’y changent rien.

Contrôle rapide. Si $F=\{2,2,5,7\}$, alors $F=\{2,5,7\}$ et $\operatorname{card}(F)=3$.