La continuité permet de passer à la limite

Si $u_n\to2$, alors les termes $u_n$ se rapprochent de $2$. Pour une fonction continue comme $f(x)=x^2+1$, les images se rapprochent de

$$f(2)=5.$$

Ainsi

$$u_n^2+1\longrightarrow5.$$

Image mentale. Une fonction continue ne déchire pas les valeurs proches : des entrées proches de $\ell$ donnent des sorties proches de $f(\ell)$.