Composition et continuité

Soient $f:I\to\mathbb R$ et $g:J\to\mathbb R$ avec $f(I)\subset J$.

• Si $f$ est continue en $x_0$ et $g$ est continue en $f(x_0)$, alors $g\circ f$ est continue en $x_0$.
• Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ est continue sur $f(I)$, alors $g\circ f$ est continue sur $I$.

Exemples.

$$x\mapsto\sqrt{1-x^2}$$

est continue sur $[-1,1]$.

$$x\mapsto\sin\left(\frac{\pi x}{1+x^2}\right)$$

est continue sur $\mathbb R$.