Recoller deux intervalles

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et sur $[b,c]$, alors elle est continue sur $[a,c]$.

Plus généralement, si $f$ est continue sur $I$ et sur $J$, et si les deux descriptions se raccordent correctement sur leur intersection, on peut conclure sur $I\cup J$.

Attention. Être continue sur $[a,b[$ et sur $[b,c]$ ne suffit pas. Les morceaux peuvent ne pas se rejoindre au point $b$.

La question à poser est toujours :

$$\lim_{x\to b^-}f(x) \stackrel{?}{=} f(b) \stackrel{?}{=} \lim_{x\to b^+}f(x).$$