Dérivabilité d'une fonction en un point

Le calcul précédent conduit à la définition exacte. La forme avec $x\to a$ et la forme avec $h\to0$ disent la même chose.

Définition 1

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$, et $a$ un élément de $I$.

On dit que $f$ est dérivable en $a$ s'il existe un nombre réel $\ell$ tel que : $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \ell$

Le nombre $\ell$ s'appelle alors le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$.

Forme équivalente :

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$