Théorème du binôme de Newton

Dans $(a+b)^n$, chaque terme du développement est obtenu en choisissant, parmi les $n$ facteurs $(a+b)$, ceux qui fournissent $b$. Le nombre de choix explique le coefficient $C_n^i$.

Théorème — Binôme de Newton

Soient $a$ et $b$ deux réels. Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ :

$(a + b)^{n} = \sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i}\, a^{\,n-i}\, b^{\,i} = \sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i}\, a^{\,i}\, b^{\,n-i}$

Les deux écritures sont équivalentes car $a + b = b + a$.

Lire le nouveau symbole $\sum$

$\sum$ est la lettre grecque sigma. Elle signifie additionner une suite de termes. Dans $\sum_{i=0}^{n}$, la lettre $i$ est un indice : elle prend successivement les valeurs $0,1,2,\ldots,n$.

Ainsi, pour $n=2$ :

$\sum_{i=0}^{2}C_2^i a^{2-i}b^i=C_2^0a^2+C_2^1ab+C_2^2b^2.$