Activité corrigée : 1/(1+x²)

Soit :

$$f(x)=\frac1{1+x^2}$$

restreinte à :

$$I=[0,+\infty[.$$

Sur $I$, $f$ est continue et strictement décroissante. De plus :

$$f(0)=1, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0.$$

Donc :

$$J=f(I)=]0,1].$$

Pour tout $y\in J$, l'équation $f(x)=y$ possède une unique solution $x\in I$. Ainsi $f^{-1}:J\to I$ existe.

Correction importante. La réciproque existe sur la restriction $[0,+\infty[$, pas sur tout $\mathbb R$, car $f(x)=f(-x)$.