Théorème d'existence de la réciproque

Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$.

Alors $f$ réalise une correspondance sans doublon entre $I$ et $J=f(I)$. Elle admet une fonction réciproque :

$$\boxed{f^{-1}:J\to I.}$$

Rôle des hypothèses.

La stricte monotonie garantit qu'une sortie ne provient pas de deux entrées.

La continuité garantit que l'image $J$ est un intervalle sans trou.

La première étape d'un exercice de réciproque est donc toujours de préciser l'intervalle $I$ sur lequel $f$ est strictement monotone.