Exercice 6 : dérivée d’un quotient

Détermine une primitive de

$$f(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}.$$

Avec

$$u(x)=x,\qquad v(x)=1+x^2,$$

la dérivée d’un quotient donne

$$u'v-uv'=1(1+x^2)-x(2x)=1-x^2,$$

et $v^2=(1+x^2)^2$. Donc

$$\boxed{F(x)=\frac{x}{1+x^2}+C}.$$

Vérifie toujours que le numérateur correspond exactement à $u'v-uv'$ avant d’annoncer le quotient.